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整数論
楕円曲線やモジュラー形式とよばれる整数論的対象と、Galois群の表現(Galois表現)という代数的な対象との間の関係を研究しています。Galois表現を調べることで楕円曲線やモジュラー形式のことが調べられますし、逆に楕円曲線やモジュラー形式のことからGalois表現についての情報を得ることもできます。
特にこれまでは、いわゆる志村谷山予想の一般化について研究してきました。志村谷山予想は、(平面3次曲線である)楕円曲線が、実は(複素上半平面上の性質の良い関数である)モジュラー形式とぴったり対応していることを予言するものです。楕円曲線の定義方程式の係数が有理数係数の場合はすでに証明され、有名な「フェルマーの最終定理」の解決に重要な役割を果たしました。私の研究では、係数が有理数係数ではなくより一般の場合を扱っています。
卒研指導:整数論・数論幾何のトピックの基礎をセミナー形式で学びます。たとえば、代数的整数論・モジュラー形式・楕円曲線など。
院生指導:卒研指導で学んだ内容をもとに、学生の希望をふまえつつ、より発展的なテキストや論文をセミナー形式で読み進めます。主に、楕円曲線・Galois表現・モジュラー形式の近辺のトピックを提示することが多いかと思います。